Question

8．设函数f（x）=x³-4x+a（0＜a＜2）有三个零点x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则下列结论正确的是（　　）

• A． x₁＞-1
• B． x₂＜0
• C． x₃＞2
• D． 0＜x₂＜1

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，得出三个零点的大致范围，再根据函数零点的存在性定理进行判断．

解答 解：f′（x）=3x²-4，令f′（x）=0得x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴f（x）在（-∞，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）上单调递增，在（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）上单调递减，
在（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）上单调递增．
∴f（x）在（-∞，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）上各有一个零点．
∴x₁＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜-1，故A错误；
∵f（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）＞0，f（0）=a＞0，f（1）=-3+a＜0，f（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）＜0，
∴0＜x₂＜1，故B错误；D正确．
∵f（2）=a＞0，
∴x₃＜2，故C错误．
故选D．

点评 本题考查了函数零点的存在性定理，函数单调性的判断，属于中档题．