Question

已知函数sgn（x）=

1 ，x＞0 0，x=0 -1 ，x＜0

，f（x）=x²•sgn（x）+x•sgn（-x），若函数g（x）=f（x）-m有三个零点，则m的取值范围是（　　）

• A、m＜-

  1

  4

• B、-

  1

  4

  ＜m＜0
• C、0＜m＜

  1

  4

• D、m＞

  1

  4

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：函数g（x）=f（x）-m零点的个数，即函数y=f（x）与y=m的图象交点的个数，画出函数图象，数形结合可得答案．

解答： 解：∵sgn（x）=

1 ，x＞0 0，x=0 -1 ，x＜0

，
∴f（x）=x²•sgn（x）+x•sgn（-x）=

-x2+x，x≤0 x2-x，x＞0

．
故函数的图象如下图所示：
由图可得：当-

1

4

＜m＜0时，函数y=f（x）与y=m的图象有三个交点，
即函数g（x）=f（x）-m有三个零点，
故选：B

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键．