Question

已知双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F₁、F₂，以线段F₁F₂为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），则此双曲线的方程为（　　）

• A、

  y2

  9

  -

  x2

  16

  =1
• B、

  y2

  4

  -

  x2

  3

  =1
• C、

  y2

  16

  -

  x2

  9

  =1
• D、

  y2

  3

  -

  x2

  4

  =1

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件推导出以|F₁F₂|为直径的圆的方程为x²+y²=c²，且

16+9=c2 3= a b ×4

，由此能求出双曲线的方程．

解答： 解：∵双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，
∴以|F₁F₂|为直径的圆的方程为x²+y²=c²，
∵以|F₁F₂|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），
∴

16+9=c2 3= a b ×4

，解得a=3，b=4，
∴双曲线的方程为

y2

9

-

x2

16

=1．
故选：A．

点评：本题考查双曲线的及圆的有关知识，求解的关键是借助圆与双曲线的渐近线的交点得出a，b，c的等量关系，是比较基础的题．