Question

已知函数f（x）=lnx+x²-ax（a∈R）．
（1）若f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）存在极值，试求a的取值范围，并证明所有极值之和小于-3-ln2．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f（x）在其定义域上为增函数，得到其导函数对x＞0恒成立，分离参数a后由基本不等式求最小值，则a的取值范围可求；
（2）求出原函数的导函数，由f（x）存在极值得导函数在（0，+∞）内有零点，令导函数的分子为
g（x），可知方程g（x）=0有两个不等的正根，由判别式大于0及两根之和大于0连理不等式组求得a的取值范围，设x₁＜x₂，分析得到f（x）的极大值为f（x₁），极小值为f（x₂），作和后证得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx+x²-ax（a∈R），
∴f′(x)=

1

x

+2x-a，x＞0．
∵f（x）在其定义域上为增函数，
∴f′(x)=

1

x

+2x-a≥0对x＞0恒成立，
即a≤

1

x

+2x，x＞0．
∵

1

x

+2x≥2

2

（当且仅当x=

2

2

时取“=”），
∴a≤2

2

；
（2）由已知，f′(x)=

2x2-ax+1

x

在（0，+∞）内有零点，
设g（x）=2x²-ax+1，
∵g（0）=1＞0，
设g（x）=0的两根为x₁，x₂，则x1x2=

1

2

．
∴要使f′（x）=0在（0，+∞）内有零点，
则方程g（x）=0有两个不等的正根，设x₁＜x₂，
∴

△=a2-8＞0 x1+x2= a 2 ＞0

，解得a＞2

2

．
当x∈（0，x₁），（x₂，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
∴f（x）的极大值为f（x₁），极小值为f（x₂）．
∴f(x1)+f(x2)=(lnx1+x12-ax1)+(lnx2+x22-ax2)
=-

a2

4

-1-ln2＜-3-ln2．
∴f（x）的所有极值之和小于-3-ln2．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的极值，体现了数学转化思想方法，考查了函数零点的判断，是压轴题．