Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为6，其离心率为

7

4

．若l₁，l₂是椭圆C的两条相互垂直的切线，l₁，l₂的交点为点P．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记点P的轨迹为C′，设l₁，l₂与轨迹C′的异于点P的另一个交点分别为M，N，求△PMN的面积的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先求出b，再利用离心率为

7

4

，求出a，即可求椭圆C的方程；
（2）先确定点P的轨迹方程，再表示出△PMN的面积，利用换元法，即可求△PMN的面积的取值范围．

解答： 解：（1）因为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为6，
所以2b=6，所以b=3，
因为离心率为

7

4

，所以1-

9

a2

=

7

16

，
所以a=4，
所以椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

9

=1．…（5分）
（2）①若直线l₁的斜率存在且不为零时，设为k，设P（x₀，y₀），则直线l₁的方程为y-y₀=k（x-x₀）．
即y=kx+y₀-kx₀，令m=y₀-kx₀．
代入椭圆方程可得（16k²+9）x²+32kmx+16m²-144=0．
直线l₁是椭圆的切线，所以△=0，所以m²=16k²+9，
坐标原点O到直线l₁的距离d₁=

|m|

1+k2

，所以d₁²=

16k2+9

1+k2

．
设坐标原点O到直线l₁的距离为d₂，同理可得d₂²=

9k2+16

1+k2

．
所以|OP|²=d₁²+d₂²=25．
②若直线l₁的斜率不存在或为零时，容易验证|OP|²=d₁²+d₂²=25，
所以P的轨迹C′是圆x²+y²=25…（10分）
S_△PMN=

1

2

|PM||PN|=2d₁d₂．
若直线l₁的斜率存在且不为零时，d₁²=

16k2+9

1+k2

，则d₁∈（3，4）；若直线l₁的斜率为零，则d₁=3；
若直线l₁的斜率不存在，则d₁=4．所以d₁∈[3，4]．
S_△PMN=

1

2

|PM||PN|=2d₁d₂=2

d12(25-d12)

，
令t=d12，则t∈[9，16]．所以S_△PMN=2

t(25-t)

∈[24，25]．
所以△PMN的面积的取值范围为[24，25]．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程与性质，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确表示三角形的面积是关键．