Question

对于任意的x∈R，不等式sin²x+msinx+

m2-3

m

≤0恒成立，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用二次函数的单调性、正弦函数的单调性值域、不等式的解法即可得出．

解答： 解：不等式sin²x+msinx+

m2-3

m

≤0化为(sinx+

m

2

)2≤

3-m2

m

+

m2

4

．
对于任意的x∈R，不等式sin²x+msinx+

m2-3

m

≤0恒成立
?

m＞0 (1+ m 2 )2≤ 3-m2 m + m2 4

，或

m＜0 (-1+ m 2 )2≤ 3-m2 m + m2 4

．
解得0＜m≤1或m∈∅．
∴m的取值范围是0＜m≤1．
故答案为：0＜m≤1．

点评：本题考查了二次函数的单调性、正弦函数的单调性值域、不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．