Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AP=AB=

2

，点E是棱PB的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AD=1，求二面角B-EC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB．又PA=AB，从而AE⊥PB．由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，由此能证明AE⊥平面PBC．
（Ⅱ）由BC⊥平面PAB，AD⊥AE．取CE的中点F，连结DF，连结BF，则∠BFD为所求的二面角的平面角，由此能求出二面角B-EC-D的平面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：如图1，由PA⊥底面ABCD，
得PA⊥AB．又PA=AB，故△PAB为等腰直角三角形，
而点E是棱PB的中点，所以AE⊥PB．
由题意知BC⊥AB，又AB是PB在面ABCD内的射影，
由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，
故BC⊥AE．因为AE⊥PB，AE⊥BC，所以AE⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面PAB，
又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE．
在Rt△PAB中，PA=AB=

2

，AE=

1

2

PB=

1

2

PA2+AB2

=1．
从而在Rt△DAE中，DE=

AE2+AD2

=

2

．
在Rt△CBE中，CE=

BE2+BC2

=

2

，又CD=

2

，
所以△CED为等边三角形，
取CE的中点F，连结DF，则DF⊥CE，
∵BE=BC=1，且BC⊥BE，
则△EBC为等腰直角三角形，连结BF，则BF⊥CE，
所以∠BFD为所求的二面角的平面角，
连结BD，在△BFD中，DF=CD•sin

π

3

=

6

2

，
BF=

1

2

CE=

2

2

，BD=

BC2+CD2

=

3

，
所以cos∠BFD=

DF2+BF2-BD2

2DF•BF

=-

3

3

，
∴二面角B-EC-D的平面角的余弦值为-

3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．