Question

在△ABC中，B=90°，AC=

15

2

，D、E两点分别在AB、AC上，使

AD

DB

=

AE

EC

=2，DE=3，现将△ABC沿DE折成直二面角（如图所示）

求：（1）异面直线BC与AE所成角的余弦值
（2）二面角A-EC-B的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明DE∥BC，可得∠AED（或其补角）为异面直线BC与AE所成角；
（2）过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，先证得∠AFD为二面角A-BC-B的平面角，再利用直角三角形中的边角关系求出其正切值即得．

解答： 解：（1）∵

AD

DB

=

AE

EC

=2，
∴DE∥BC，
∴∠AED（或其补角）为异面直线BC与AE所成角，
∵DE=3，AE=5，
∴cos∠AED=

3

5

；
（2）过D作DF⊥CE，交CE的延长线于F，连接AF．
∵A-DE-B是直二面角，AD⊥DE，∴AD⊥底面DBCE，
由三垂线定理知AF⊥FC，故∠AFD为二面角A-BC-B的平面角．
在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE，DB=2，EC=

5

2

，
因此sinBCE=

DB

EC

=

4

5

．
从而在Rt△DFE中，DE=3，DF=DEsinDEF=DEsinBCE=

12

5

．
在Rt△AFD中，AD=4，tan∠AFD=

AD

DF

=

5

3

．
因此，二面角A-EC-B的正切值为

5

3

．

点评：本小题主要考查异面直线及其所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．