Question

已知函数h（x）=ax-3-lnx-

1-a

x

，求函数h（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：h′（x）=a-

1

x

+

1-a

x2

（x＞0）．对a分类讨论：当a≥1时，当

1

2

＜a＜1时，当a=

1

2

时，当0＜a＜

1

2

时，当a=0时，当a＜0时，即可得出函数的单调性．

解答： 解：h′（x）=a-

1

x

+

1-a

x2

（x＞0）．
当a=0时，h′（x）=-

1

x

+

1

x2

=

1-x

x2

，令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，此时函数h（x）单调递增；令h′（x）＜0，解得
1＜x，此时函数h（x）单调递减；
当a≠0时，h′（x）=

a(x- 1-a a )(x-1)

x2

．
当a≥1时，令h′（x）＞0，解得1＜x，此时函数h（x）单调递增；令h′（x）＜0，解得0＜x＜1，此时函数h（x）单调递减；
当

1

2

＜a＜1时，0＜

1-a

a

＜1，令h′（x）＞0，解得1＜x，或0＜x＜

1-a

a

，此时函数h（x）单调递增；令h′（x）＜0，解得

1-a

a

＜x＜1，此时函数h（x）单调递减；
当a=

1

2

时，h′(x)=

(x-1)2

2x2

≥0，此时函数h（x）在x＞0单调递增；
当0＜a＜

1

2

时，

1-a

a

＞1，令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，或x＞

1-a

a

，此时函数h（x）单调递增；令h′（x）＜0，解得1＜x＜

1-a

a

，此时函数h（x）单调递减；
当a＜0时，

1-a

a

＜0＜1，令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，此时函数h（x）单调递增；令h′（x）＜0，解得1＜x，此时函数h（x）单调递减．
综上可得：当a=0时，函数h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减；
当a≥1时，函数h（x）在区间（1，+∞）上单调递增，在区间（0，1）单调递减；
当

1

2

＜a＜1时，函数h（x）在区间(0，

1-a

a

)，（1，+∞）上单调递增，在区间(

1-a

a

，1)上单调递减；
当a=

1

2

时，函数h（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当0＜a＜

1

2

时，函数h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减；
当a＜0时，函数h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．