Question

从椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点P向X轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁．A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，且OP∥AB，|F₁A|=

6

+

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆O：x²+y²=2的切线l与椭圆C相交于A，B两点，问以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点的坐标；否则，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）x=c代入椭圆方程求得y，进而求得|PF|，根据OP∥AB，PF∥OB推断出△PFO∽△ABO，根据相似三角形的性质求得b和c的关系，可得a和c的关系，结合a+c=

6

+

3

，即可求椭圆C的方程；
（2）先求得直线l的斜率不存在及斜率为0时圆的方程，由此可得两圆所过公共点为原点O，当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理、向量数量积可得

OA

•

OB

的表达式，再根据线圆相切可得k，m的关系式，代入上述表达式可求得

OA

•

OB

=0，由此可得结论

解答： 解：（1）由已知，|F₁A|=

6

+

3

，
∴a+c=

6

+

3

，
把x=c代入椭圆方程求得y=±

b2

a

，
∴|PF|=

b2

a

，
∵OP∥AB，PF∥OB
∴△PFO∽△ABO
∴

b2

a c

=

b

a

，
求得b=c
∴a=

6

，b=

3

∴椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

3

=1；    …（5分）
（2）当切线与x轴垂直时，l：x=±

2

，
椭圆中，令l：x=±

2

，得y=±

2

，
∴以AB为直径的圆的方程为（x±

2

）²+y²=2，两圆唯一的公共点为（0，0）；…（8分）
当切线与x轴不垂直时，可设切线的方程为；y=kx+m
联立方程x²+2y²=6，得（1+2k²）x²+4kmx+2（m²-3）=0
由直线与圆相切得，

|m|

1+k2

=

2

，即m²=2（1+k²）…（10分）
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2(m2-3)

1+2k2

，

OA • OB =x1x2+y1y2 =x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2 =(1+k2) 2(m2-3) 1+2k2 - 4k2m2 1+2k2 +m2 1+2k2 1+2k2 = 3(m2-2k2-2) 1+2k2

∵m²=2（1+k²），∴m²-2k²-2=0，∴

OA

•

OB

=0
即以AB为直径的圆过（0，0）．
综上得，以AB直径的圆经过定点（0，0）．…（14分）

点评：本题考查椭圆的方程、圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积运算，考查学生解决问题的能力．