Question

设函数f（x）=ax³+bx（a≠0）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为-6，导函数f′（x）的最小值为-12．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，由导数的几何意义，得到f′（1）=-6，再由二次函数的最值，即可；
（2）令f′（x）＞0，解不等式，求出单调增区间，求出f（-1），f（3），f（

2

），比较即可得到．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²+b，
∵曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为-6，
∴f′（1）=-6，即3a+b=-6，
∵导函数f′（x）的最小值为-12，
∴a＞0，b=-12，
∴a=2，b=-12；
（2）f（x）=2x³-12x，f′（x）=6x²-12，
令f′（x）＞0，则x＞

2

或x＜-

2

，
f′（x）＜0，则-

2

＜x＜

2

，
∴f（x）的单调递增区间是（

2

，+∞），（-∞，-

2

）．
∵f（-1）=2-12=-10，f（

2

）=4

2

-12

2

=-8

2

，f（3）=54-36=18．
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是18，最小值是-8

2

．

点评：本题考查导数的综合运用：求切线方程，求单调区间，求最值，考查运算能力，属于基础题．