Question

已知函数f（x）=lnx-λx+λ（λ∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）请问，是否存在实数λ使f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立？若存在，请求实数λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）确定函数的最大值，可得λ-lnλ-1≤0即可，构造新函数，确定函数的单调性，可得函数的最小值，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）f/(x)=

1

x

-λ=

1-λx

x

，(x∈(0，+∞))…（2分）
当λ≤0时，f′（x）＞0恒成立，
则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增…（4分）
当λ＞0时，由f/(x)=

1

x

-λ=

1-λx

x

＞0得0＜x＜

1

λ

，
则f（x）在(0，

1

λ

)上单调递增，在(

1

λ

，+∞)上单调递减…（6分）
（Ⅱ）存在．…（7分）
由（Ⅰ）得：当λ≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增f（x）≤0显然不成立；
当λ＞0时，f（x）在(0，

1

λ

)上单调递增，在(

1

λ

，+∞)上单调递减，
∴f(x)max=f(

1

λ

)=ln

1

λ

-1+λ=λ-lnλ-1，
只需λ-lnλ-1≤0即可　…（9分）
令g（x）=x-lnx-1
则g/(x)=1-

1

x

，
函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
∴g（x）_min=g（1）=0，…（10分）
即g（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
也就是λ-lnλ-1≥0对λ∈（0，+∞）恒成立，
∴λ-lnλ-1=0解得λ=1，
∴若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，λ=1． …（12分）

点评：本题考查函数的单调性，考查 恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．