Question

设函数f（x）=ax²+2bx+c（a＜b＜c），函数y=f（x）的图象经过A（1，0）、B（m，-a）．
（1）若y=f（x）在x=x₀处取得极值，求证：-1＜x₀≤0；
（2）若f′（m）＞0，试判断f（m-2）的符号，并加以证明．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数的运算

专题：创新题型

分析：由y=f（x）在x=x₀处取得极值知，x=x₀是f（x）=ax²+2bx+c的对称轴，问题可解．

解答： 证明：（1）由题意，
f（1）=a+2b+c=0，f（m）=am²+2bm+c=-a，
又∵a＜b＜c，
∴a＜0，c＞0，
∴1＞

b

a

＞

c

a

，
∴-

b

a

＞-1，
f（x）=ax²+2bx+c=a（x+

b

a

）²+c-

b2

a

，
则c-

b2

a

≥-a，
即-a-2b-

b2

a

≥-a，

b

a

(

b

a

+2)≥0，
∴

b

a

≥0或

b

a

≤-2(舍去)，
则-

b

a

≤0，
∴-1＜-

b

a

≤0，
又∵y=f（x）在x=x₀处取得极值，
∴x0=-

b

a

，
∴-1＜x₀≤0．
（2）f（m-2）＜0，证明如下：
∵f′（m）＞0，
∴m＜x₀，
∴m-x₀＜0，
∴m-2-x₀＜-2，
∴

.

m-2-x0

.

＞2，
又∵

.

1-x0

.

＜2，
即m-2到x=x₀的距离大于1到x=x₀的距离．且f（1）=0
∴f（m-2）＜0

点评：本题综合考查了二次函数的性质，比较困难，需要对二次函数深入掌握．