Question

已知函数f（x）=-

1

3

x³+

1

2

（a-1）x²+ax，x∈R．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）的单调区间．
（Ⅱ）若-1＜a＜-1时，f（x）在区间[-1，2}上的最小值为-

10

3

，求f（x）在该区间上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）代入a的值，利用导数来求出函数f（x）的单调区间，
（Ⅱ）先根据函数f（x）在区间[-1，2}上的最小值为-

10

3

，求出a的值，再根据f（x）在区间[-1，2]上的最大值为f（a），代入求值即可．

解答： 解：（Ⅰ）当a=2时，f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2x，
∴f′（x）=-x²+x+2=-（x+1）（x-2），
令 f′（x）＞0，则-1＜x＜2，
∴f（x）的单调增区间为 （-1，2），
令 f′（x）＜0则 x＞2或  x＜-1，
∴f（x） 的单调减区间为 （-∞，-1）（2．+∞），  
（Ⅱ）f′（x）=-x²+（a-1）x+a=-（x+1）（x-a），   
∵-1＜a＜1，
∴在（-1，a） 上，在（a，+∞） 上 f′（x）＜0，
∴f（x）在（-1，a）单调递增，在（a，2）上单调递减
∴当 -1＜a＜1时，f（x）在区间[-1，2]上的最大值为f（a），
∵当-1＜a＜1 时，f(2)-f(-1)=4a-

14

3

-(-

1

2

a-

1

6

)=

9

2

a-

9

2

＜0
∴f（2）＜f（-1）
∴f（x）在区间[-1，2]上的最小值为  f(2)=4a-

14

3

=-

10

3

∴a=

1

3

，
∴f（x）在区间[-1，2] 上的最大值为 f(

1

3

)=

5

81

．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及最值问题，属于基础题