Question

已知函数f（x）=ln（ax），（a＞0），g（x）=

x-1

x

．
（1）若?x∈[1，+∞），f（x）≥g（x），求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，a取最小值时，记h（x）=f（x）-g（x），过点（1，-1）是否存在函数h（x）的切线？若存在，有多少条？若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）恒成立问题转化为最值问题，（2）假设存在，把点坐标设出来，两个点可以得出斜率，再和导数相比较．

解答： 解：（1）∵f（x）-g（x）=lnx+lna-1+

1

x

=lnx+

1

x

+lna-1
∴f′（x）-g′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

∵x≥1
∴f′（x）-g′（x）≥0
所以若使?x∈[1，+∞），f（x）≥g（x），则只需使f（1）≥g（1），
即lna≥0，即a≥1．
（2）h（x）=f（x）-g（x）=lnx+

1

x

-1，h（1）=0≠-1
假设存在过点（1，-1），函数h（x）的切线；设切点坐标为（m，lnm+

1

m

-1），则有
h′(m)=

m-1

m2

，k=

lnm+ 1 m -1+1

m-1

=

lnm+ 1 m

m-1

；

m-1

m2

=

lnm+ 1 m

m-1

，
即lnm=(

1

m

-

3

2

)2-

5

4

，

如图，有一条切线．

点评：本题考查了恒成立问题及切线的斜率问题，综合性较强．