Question

已知数列{a_n}=

n+1，n是奇数 2n，n是偶数

满足a_n，其前n项和为S_n．
（Ⅰ）求S₉和S₁₀的值；
（Ⅱ）甲同学利用S_n设计了一个流程图，如图所示是该流程图的一部分．但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意乙同学的观点？请说明理由．

Answer 1

考点：设计程序框图解决实际问题

专题：开放型

分析：通过数列和的定义求S₉和S₁₀的值，判断是否是“死循环”，是判断条件是否能够成立．

解答： 解：（Ⅰ）S9=(2+4+6+8+10)+(22+24+26+28)=370；
S10=(2+4+6+8+10)+(22+24+26+28+210)=1394．
（Ⅱ）当n为偶数时，

Sn=(2+4+6+…+n)+(22+24+…+2n)  = (2+n) n 2 2  + 22(1-4 n 2 ) 1-4  = n2+2n 4 + 4(2n-1) 3

当n为奇数时，

Sn=[2+4+6+…+(n+1)]+(22+24+…+2n-1)  = (3+n) n+1 2 2  + 22(1-4 n-1 2 ) 1-4   = n2+4n+3 4 + 4(2n-1-1) 3

记d_n=S_n-P，当n为偶数时，dn=

4(2n-1)

3

-

23

2

n，
dn+2-dn=2n+2-23；
所以，从第4项起，数列{d_n}的偶数项开始递增，而d₂，d₄，d₆，d₈，d₁₀均小于2013，d₁₂＞2013，所以d_n≠2013；
当n为奇数时，dn=

4(2n-1-1)

3

-11n+

3

4

，
dn+2-dn=2n+1-22
所以，从第5项起，数列{d_n}的奇数项开始递增，而d₁，d₃，d₅，d₇，d₉，d₁₁均小于2013，d₁₃＞2013，所以d_n≠2013
综上所述，无论n取奇数还是偶数，S_n-P都不可能是2013．乙的观点是正确的．

点评：本题考查了等差数列与等比数列前n项和的求法，同时考查了“死循环”的条件；综合性较强．