Question

已知椭圆C₁：

x2

16

+

y2

15

=1的左焦点为F，点P为椭圆上一动点，过点P向以F为圆心，1为半径的圆作切线PM、PN，其中切点为M、N，则四边形PMFN面积的最大值为（　　）

• A、2

  6

• B、

  14

• C、

  15

• D、5

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由切线的性质可得S_{四边形PMFN}=2×

1

2

|FM|•|PM|=|PM|．因此要使四边形PMFN面积取得最大值，|PM|必须取得最大值，因此|PF|必须取得最大值，当P点为椭圆的右顶点时，|PF|取得最大值a+c．

解答： 解：如图所示，
由椭圆C₁：

x2

16

+

y2

15

=1可得a=4，c=

a2-b2

=1，
∴F（-1，0）．
由切线PM、PN，可得PM⊥MF，PN⊥FN．
S_{四边形PMFN}=2×

1

2

|FM|•|PM|=|PM|．
因此要使四边形PMFN面积取得最大值，
则|PM|必须取得最大值，因此|PF|必须取得最大值，
当P点为椭圆的右顶点时，|PF|取得最大值a+c=4+1=5．
∴边形PMFN面积最大值为5．
故选：D．

点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、圆的切线的性质、勾股定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．