Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，已知AB⊥AD，PA=PD，D为AD的中点，AB⊥PO，E为线段DC上一点，向量

DE

=

AB

．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）若PO=

3

，AD=AB=2，点C到平面PBE的距离为

2

7

21

，求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由PO⊥AD，得PO⊥平面ABCD，从而PO⊥DE，由已知得四边形ABED为正方形，从而DE⊥AD，由此能证明平面PAD⊥平面PCD．
（Ⅱ）以O为原点，射线OA所在直线为x轴，过点O作AD的垂线为y轴，建立空间直线角坐标系，利用向量法能求出
平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA=PD，O为AD的中点，∴PO⊥AD，
又∵AB⊥PO，AB∩AD=A，∴PO⊥平面ABCD，
又DE?平面ABCD，∴PO⊥DE，
连接OB，OE，则PO⊥OB，PO⊥OE，
又∵AB⊥AD，

DE

=

AB

，AD=AB=2，
∴四边形ABED为正方形，
∴DE⊥AD，又AD∩PO=O，
∴DE⊥平面PAD，又DE?平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
（Ⅱ）解：∵PA=PD，O为AD中点，∴PO⊥AD，
又∵AB⊥PO，AB∩AD=A，∴PO⊥平面ABCD，
由（Ⅰ）知AB⊥平面PAD，
∴以O为原点，射线OA所在直线为x轴，过点O作AD的垂线为y轴，
建立空间直线角坐标系，
由条条件得A（1，0，0），B（1，2，0），P（0，0，

3

），D（-1，0，0），
∵

DE

=

AB

，∴E（-1，2，0），设C（-1，y，0），y＞0，
则

PA

=(1，0，-

3

)，

PD

=(-1，0，-

3

)，

PB

=(1，2，-

3

)，

BE

=(-2，0，0)，

PC

=(-1，y，-

3

)，
设平面PBE的法向量为

n

=（x，y，z），由

n

•

PB

=0，且

n

•

BE

=0，
得

n

=(0，

3

，2)，
∴点C到平面PBE的距离为d=

| PC • n |

| n |

=

| 3 y-2 3 |

7

=

2

7

21

，
解得y=7（取正值），∴

PC

=(-1，4，-

3

)，
设平面PBC的法向量

m

=(x，y，z)，则由

m

•

PB

=0，且

m

•

PC

=0，
得

m

=(

3

3

z，

3

3

z，z)，取z=

3

，得

m

=(1，1，

3

)，
∵

AB

=(0，2，0)\为平面PAD的一个法向量，
∴cos＜

AB

，

m

＞=

AB • m

| AB |×| m |

=

2

5 ×2

=

5

5

．
∴平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值为

5

5

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．