Question

有下列命题：
①函数y=ax²+bx+c为偶函数的充要条件是b=0；
②函数y=f（a+x）与函数y=f（a-x）的图象关于直线x=a对称；
③b=

ac

是a，b，c成等比的必要不充分条件；
④若函数f（x）=x（x-c）²在x=2处有极大值，则c的值为2或6；
⑤y=sinx+

1

sinx

（0＜x＜

π

2

）的最小值是2．
其中正确命题的序号是

 

（注：把你认为正确的命题的序号都填上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,简易逻辑

分析：①利用偶函数的概念及充分、必要条件的概念可判断①；
②利用两函数的解析式的特点可判断函数y=f（a+x）与函数y=f（a-x）的图象关于直线x=0对称；
③利用等比数列的性质及充分、必要条件的概念可判断③；
④通过研究f（x）=x（x-c）²的单调性与极值，结合题意可判断④的正误；
⑤令t=sinx，（0＜t＜1），由双钩函数y=t+

1

t

的性质可知，y=t+

1

t

在（0，1）上单调递减，从而可知y=sinx+

1

sinx

＞2，无最小值．

解答： 解：①函数y=f（x）=ax²+bx+c为偶函数?f（-x）=a（-x）²+b（-x）+c=ax²+bx+c=f（x）?b=0，故①正确；
②函数y=f（a+x）与函数y=f（a-x）的图象关于直线x=0对称；
理由是：函数y=f（a+x）的自变量是x，而不是a+x；同理函数y=f（a-x）的自变量是x，而不是a-x．当前一个函数y=f（a+x）自变量取-x时，函数值为f（a-x），因此函数y=f（a+x）与函数y=f（a-x）关于y轴，即x=0对称，故②错误；
③b=

ac

是a，b，c成等比的既不充分也不必要不条件，
当a=b=c=0时，满足0=

0•0

，但a，b，c不成等比，充分性不成立；
若a，b，c成等比，则b²=ac，b=±

ac

，必要性不成立，故③错误；
④∵f（x）=x（x-c）²，∴f′（x）=（x-c）²+2x（x-c）=（x-c）（3x-c），
由f′（x）=0得x=c或x=

1

3

c，
当c＞0时，由f′（x）＞0，得x＜

1

3

c，或x＞c，即y=f（x）在区间（-∞，

1

3

c）上单调递增，在区间（

1

3

c，c）上单调递减，
∴当x=

1

3

c时，取得极大值，依题意，

1

3

c=2，解得c=6；
当c＜0时，同理可得x=c时，取得极大值，依题意，c=2，这与c＜0矛盾，故④错误；
⑤∵0＜x＜

π

2

时，0＜sinx＜1，
令t=sinx，（0＜t＜1），
由双钩函数y=t+

1

t

的性质可知，y=t+

1

t

在（0，1）上单调递减，
∴当0＜x＜

π

2

时，y=sinx+

1

sinx

＞2，无最小值，故⑤错误．
综上所述，正确命题的序号是①．
故答案为：①．

点评：本题考查函数的单调性、奇偶性、极值与最值及充分、必要条件的概念及综合应用，考查等比数列的性质及偶函数的概念，属于难题．