Question

已知函数f（x）=4x³+ax²+bx+5在x=-1与x=

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处有极值．
（1）写出函数的解析式；
（2）求出函数的单调区间； 
（3）求f（x）在[-1，2]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）首先求出函数的导数，然后f′（-1）=0，f′（

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）=0，解出a、b的值，即可写出函数的解析式；
（2）利用导数的正负，求出函数的单调区间；
（3）确定函数在[-1，2]上的单调性，即可求f（x）在[-1，2]上的最值．

解答： 解：（1）f′（x）=12x²+2ax+b，依题意有f′（-1）=0，f（

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）=0，
即

12-2a+b=0 27+3a+b=0

，得

a=-3 b=-18

，
所以f（x）=4x³-3x²-18x+5；
（2）f′（x）=12x²-6x-18＜0，
∴（-1，

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）是函数的减区间，（-∞，-1），（

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，+∞）是函数的增区间；
（3）函数在[-1，

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]上单调递减，在[

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，2]上单调递增，
∴f（x）_max=f（-1）=16，f（x）_min=f（

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）=-

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．

点评：此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，难度不大．