Question

已知函数f（x）=

sinx

x

，下列命题正确的是

 

．（写出所有正确命题的序号）
①f（x）是奇函数；    
②对定义域内任意x，f（x）＜1恒成立；
③当x=

3

2

π时，f（x）取得极小值； 
④f（2）＞f（3）； 
⑤当x＞0时，若方程|f（x）|=k有且仅有两个不同的实数解α，β（α＞β），则β•cosα=-sinβ．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①根据函数的奇偶性的定义即可判断，
②根据三角函数的有界性即可判断②；
③求函数的导数，判断函数的导数不是0，即可判断；
④利用函数的单调性，比较两个函数值，可判断，
⑤根据三角函数的图象和性质，可判断．

解答： 解：①函数的定义域为{x|x≠0}，则f（-x）=

-sinx

-x

=

sinx

x

=f（x），即f（x）偶函数；故①错误．
②由①知，函数f（x）是偶函数，则只需判断当x＞0时，条件是否满足即可．
当x∈（0，

π

2

）时，sinx＜x，此时

sinx

x

＜1成立，
当x∈[

π

2

，+∞)sinx≤1＜x，∴

sinx

x

＜1成立，
∴对定义域内任意x，f（x）＜1恒成立，故②成立；
③函数的导数为f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，
当x=

3

2

π时，f′（

3

2

π）=

1

( 3π 2 )2

≠0，∴f（x）取得极小值错误，故③错误； 
④∵

π

2

＜2＜3＜π，∴sin2＞sin3＞0，∴

sin2

2

＞

sin3

3

，
即f（2）＞f（3），∴④正确．
⑤当x＞0时，若方程|f（x）|=k有且仅有两个不同的实数解α，β（α＞β），
∴k＞0，
∵x＞0时，y=sinx为周期函数，y=x为增函数，
∴f（x）在（0，π）的最大值大于f（x）在（π，2π）的最大值大于f（x）在（2π，3π）的最大值…
∵α＞β，
∴α必为y=f（x）在（π，2π）取最大值时x的值，
π＜x＜2π时，y=|f（x）|=-

sinx

x

，y′=-

xcosx-sinx

x2

，
则f′（α）=0，
则αcosα-sinα=0，即cosα=

sinα

α

，
所以，f（α）=-

sinα

α

=-cosα=k
α，β为方程f（x）=k在（0，π）的根
∴

sinβ

β

=k=-cosα，
即：βcosα=-sinβ，故⑤正确．
故答案为：②④⑤

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的奇偶性，值域，极值，单调性是三角函数图象和性质的综合应用，难度较大．