Question

【题目】已知O是坐标原点，抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线C于A，B两点，Q为抛物线C的准线上一点，且.

（1）求Q点的坐标；

（2）设与直线垂直的直线与抛物线C交于M，N两点，过M，N分别作抛物线C的切线，设直线与交于点P，若，求外接圆的标准方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设.根据.，即.联立直线和抛物线方程用韦达定理设而不求根据代入点的坐标即可求得Q点的坐标；（2）设直线与抛物线联立，根据，即求出M,N两点横坐标之和和之积。MN为外接圆的直径，求出MN的中点坐标和MN的长的一半即为半径，从而求得外接圆的标准方程。

（1）由已知得直线的方程为：，设.

由得，.∴.

由得.

∴，解得.∴Q点的坐标为.

（2）设，，直线，

由已知得，，

解得.由题意得，即.

∴，.

∵，∴，解得.∴，

∴，∴.∴MN为外接圆的直径.

又∵，

，

∴外接圆的圆心为，半径为.

∴外接圆的标准方程为.