Question

【题目】在平面直角坐标平面中，的两个顶点为，平面内两点、同时满足：①++=；②||=||=||；③∥．

（1）求顶点的轨迹的方程；

（2）过点作两条互相垂直的直线，直线与点的轨迹相交弦分别为，设弦的中点分别为．求四边形的面积的最小值；

Answer 1

【答案】(1) ;(2)当，即时取等号．

【解析】

（1）由++=可得P为△ABC的重心，设A（x，y），则P（），再由||=||=||，知Q是△ABC的外心，Q在x轴上，再由∥，可得Q（），结合||=||求得顶点A的轨迹E的方程；

（2）F（，0）恰为的右焦点．当直线l1，l2的斜率存在且不为0时，设直线l1 的方程为my=x﹣．联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A、B的纵坐标得到和与积，根据焦半径公式得|A1B1|、|A2B2|，代入四边形面积公式再由基本不等式求得四边形A1A2B1B2的面积S的最小值.

（1）∵，由①知，∴为的重心，设，则，由②知是的外心，∴在轴上由③知，由，得，化简整理得：．

（2）解：恰为的右焦点，

①当直线的斜率存且不为0时，设直线的方程为，

由，

设则，

①根据焦半径公式得，

又，

所以，同理，

则，

当，即时取等号．