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设双曲线方程
x2
a2
-
y2
b2
=1(b>a>0)
的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为
3
4
c

(1)求双曲线的离心率;
(2)经过该双曲线的右焦点且斜率为2的直线m被双曲线截得的弦长为15,求双曲线的方程.
(1)b>a⇒b2a2c2-a2a2c2>2a2e2>2⇒e>
2
…(2分)
直线l的方程为
x
a
+
y
b
=1
,即bx+ay-ab=0,由原点到直线l的距离为
3
4
c
d=
ab
a2+b2
=
ab
c
=
3
4
c
,即16a2(c2-a2)=3c4,…(4分)
两边同时除以a4得16(e2-1)=3e4,整理得3e4-16e2+16=0,解得e2=
4
3
或4
…(5分)
e>
2
,故双曲线的离心率为e=2…(6分)
(2)由(1)知道e=2即c=2a,所以设双曲线的方程为
x2
a2
-
y2
3a2
=1

又由题意得直线m方程为y=2(x-2a),代入双曲线方程得…(7分)
3x2-4(x-2a)2=3a2,整理得x2-16ax+19a2=0…(8分)
记直线m与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=16a,x1x2=19a2…(9分)∴|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
5(256a2-76a2)
=30a=15
a=
1
2
…(11分)
∴所求双曲线方程为
x2
1
4
-
y2
3
4
=1
…(12分)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,离心率为
2
2
,以线段F1F2为直径的圆的面积为π,设直线l过椭圆的右焦点F2(l不垂直坐标轴),且与椭圆交于A、B两点,
(1)求椭圆的方程;
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0),试求m的取值范围;
(3)求△ABF1面积的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

椭圆
x2
45
+
y2
20
=1
的焦点分别为F1和F2,过原点O作直线与椭圆相交于A,B两点.若△ABF2的面积是20,则直线AB的方程是______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率为
3
3
,直线l:y=x+2与圆x2+y2=b2相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C的交点为A,B,求弦长|AB|.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,F1,F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上的焦点,P为椭圆上的点,PF1⊥OX轴,且OP和椭圆的一条长轴顶点A和短轴顶点B的连线AB平行.
(1)求椭圆的离心率e
(2)若Q是椭圆上任意一点,证明∠F1QF2
π
2

(3)过F1与OP垂直的直线交椭圆于M,N,若△MF2N的面积为20
3
,求椭圆方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

椭圆E的中心在原点O,焦点在x轴上,离心率e=
2
3
,过点C(-1,0)的直线l交椭圆于A、B两点,且满足:
CA
BC
(λ≥2).
(1)若λ为常数,试用直线l的斜率k(k≠0)表示三角形OAB的面积;
(2)若λ为常数,当三角形OAB的面积取得最大值时,求椭圆E的方程;
(3)若λ变化,且λ=k2+1,试问:实数λ和直线l的斜率k(k∈R)分别为何值时,椭圆E的短半轴长取得最大值?并求出此时的椭圆方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右顶点分别为A(-
2
,0)、B(
2
,0),离心率e=
2
2
.过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,点C在QP的延长线上,且|PC|=(
2
-1)|PQ|.
(1)求椭圆的方程;
(2)求动点C的轨迹E的方程;
(3)设直线MN过椭圆的右焦点与椭圆相交于M、N两点,且|MN|=
8
2
7
,求直线MN的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C过点P(1,
3
2
),两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F1的直线交椭圆于A、B两点,求线段AB的中点的轨迹方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

过(2,0)点且倾斜角为60°的直线与椭圆
x2
5
+
y2
3
=1
相交于A,B两点,则AB中点的坐标为______.

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