Question

6．已知函数f（x）=x³+sinx，x∈（-1，1），则满足f（a²-1）+f（a-1）＞0的a的取值范围是（　　）

• A． （0，2）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （1，2）
• D． （0，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 在区间（-1，1）上，由f（-x）=-f（x）、f′（x）＞0可知函数f（x）是奇函数且单调递增，由此可求出a的取值范围，进而选出答案．

解答 解：∵函数f（x）=x³+sinx，x∈（-1，1），
则f（-x）=-f（x），∴f（x）在区间（-1，1）上是奇函数；
又f′（x）=3x²+cosx＞0，∴f（x）在区间（-1，1）上单调递增；
∵f（a²-1）+f（a-1）＞0，∴-f（a-1）＜f（a²-1），∴f（1-a）＜f（a²-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-a＜1}\\{-1{＜a}^{2}-1＜1}\\{1-a{＜a}^{2}-1}\end{array}\right.$，求得1＜a＜$\sqrt{2}$，
故选：B．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性，充分理解函数的奇偶性、单调性是解决问题的关键，属于中档题．