【题目】已知点为圆
,
,
是圆上的动点,线段
的垂直平分线交
于点
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)设,
,过点
的直线
与曲线
交于点
(异于点
),过点
的直线
与曲线
交于点
,直线
与
倾斜角互补.
①直线的斜率是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由;
②设与
的面积之和为
,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)本问考查曲线轨迹方程的求法,画出图形分析可有, ,于是点
的轨迹是以点
为焦点,焦距为
,长轴为
的椭圆,可求出方程;(2)①本问考查直线与椭圆的位置关系,由于直线
与
倾斜角互补,所以斜率互为相反数,设
的方程为
,与椭圆方程联立,消元,得到关于x的一元二次方程,根据韦达定理可以求出点M的坐标,设
的方程为
,同理可以求出点N的坐标,于是可以求出直线MN的斜率,并判断是否为定值;②由于直线MN的斜率为定值,所以设直线
的方程为
,与椭圆方程联立,求出弦长
,再分别求点A,B到直线MN的距离,于是可以得到
与
的面积之和为
,再讨论求出取值范围.
试题解析:(1)由题意.
∴点的轨迹是以点
为焦点,焦距为
,长轴为
的椭圆,
所以,
所以点的轨迹方程是
(2)①设的方程为
, 联立方程
,得
,
设与椭圆除
外的另一个交点
,则
,
,
代入的方程得
,所以
,
因为倾斜角互补,所以
的方程为
,
联立方程组,得
,
设与椭圆除
外的另一个交点
,则
,
,
代入的方程得
,所以
,
∴直线的斜率为
.
②设直线的方程为
,联立方程
,得
,
由得
,设
,则
,
∴.
设分别为点
到直线
的距离, 则
,
当时,
,
当时,
,
当时,
,
∴的取值范围为
.
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【题目】在△ABC中,点A(1,1),B(0,﹣2),C(4,2),D为AB的中点,DE∥BC. (Ⅰ)求BC边上的高所在直线的方程;
(Ⅱ)求DE所在直线的方程.
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【题目】下列各式的大小关系正确的是( )
A.sin11°>sin168°
B.sin194°<cos160°
C.tan(﹣ )<tan(﹣
)
D.cos(﹣ )>cos
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【题目】某校高一某班的一次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如图,据此解答如下问题;
(1)求分数在[50,60)的频率及全班的人数;
(2)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高;
(3)根据频率分布直方图,估计该班数学成绩的平均数与中位数.
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【题目】在某次测试后,一位老师从本班48同学中随机抽取6位同学,他们的语文、历史成绩如下表:
学生编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
语文成绩 | 60 | 70 | 74 | 90 | 94 | 110 |
历史成绩 | 58 | 63 | 75 | 79 | 81 | 88 |
(1)若规定语文成绩不低于90分为优秀,历史成绩不低于80分为优秀,以频率作概率,分别估计该班语文、历史成绩优秀的人数;
(2)用上表数据画出散点图易发现历史成绩与语文成绩
具有较强的线性相关关系,求
与
的线性回归方程(系数精确到0.1).
参考公式:回归直线方程是,其中
,
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【题目】已知圆过两点
,
,且圆心
在直线
上.
(Ⅰ)求圆的标准方程;
(Ⅱ)直线过点
且与圆
有两个不同的交点
,
,若直线
的斜率
大于0,求
的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在直线使得弦
的垂直平分线过点
,若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形,
= 4且
⊥底面
,点
为
的中点.
(Ⅰ)求证: 面
;
(Ⅱ)在边上找一点
,使
∥面
,
并求三棱锥的体积.
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【题目】(本题满分12分)一块长为、宽为
的长方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为
的小正方形,然后做成一个无盖方盒.
(Ⅰ)试把方盒的容积V表示为的函数;
(Ⅱ)试求方盒容积V的最大值.
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