Question

10．已知抛物线C₁：y²=8ax（a＞0），直线l倾斜角是45°且过抛物线C₁的焦点，直线l被抛物线C₁截得的线段长是16，双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一个焦点在抛物线C₁的准线上，则直线l与y轴的交点P到双曲线C₂的一条渐近线的距离是（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 利用弦长，求出抛物线中的a，可得双曲线中的c，再利用点到直线的距离公式，即可得出结论．

解答 解：由题意，设直线方程为y=x-2a，
代入y²=8ax，整理可得x²-12ax+4a²=0，
∵直线l被抛物线C₁截得的线段长是16，
∴$\sqrt{1+1}•\sqrt{144{a}^{2}-16{a}^{2}}$=16，
∵a＞0，∴a=1．
∴抛物线C₁的准线为x=-2，
∵双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一个焦点在抛物线C₁的准线上，
∴c=2，b=$\sqrt{3}$
直线l与y轴的交点P（0，-2）到渐近线bx-ay=0的距离d=$\frac{|2a|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=1，
故选D．

点评 本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．