Question

20．已知F₁、F₂分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，M为△PF₁F₂的内心，满足S${\;}_{△MP{F}_{1}}$=S_△${\;}_{MP{F}_{2}}$+λS${\;}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}$若该双曲线的离心率为3，则λ=$\frac{1}{3}$
（注：S${\;}_{△MP{F}_{1}}$、S_△${\;}_{MP{F}_{2}}$、S${\;}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}$分别为△MPF₁、△MPF₂、△MF₁F₂的面积）

Answer 1

分析 设△PF₁F₂的内切圆的半径r，运用三角形的面积公式和双曲线的定义，以及离心率公式，化简整理即可得到所求值．

解答 解：设△PF₁F₂的内切圆的半径r，
由满足S${\;}_{△MP{F}_{1}}$=S_△${\;}_{MP{F}_{2}}$+λS${\;}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}$，可得
$\frac{1}{2}$r•|PF₁|=$\frac{1}{2}$r•|PF₂|+λ•$\frac{1}{2}$r•|F₂F₁|，
即为|PF₁|=|PF₂|+λ•|F₂F₁|，
即为|PF₁|-|PF₂|=λ•|F₂F₁|，
由点P为双曲线右支上一点，
由定义可得2a=λ•2c，
即a=λc，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{λ}$=3，
解得λ=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的面积公式的运用，注意运用定义法解题，以及离心率公式，考查运算能力，属于中档题．