Question

8．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-2y-2≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$，若2x+y+k≥0恒成立，则直线2x+y+k=0被圆（x-1）²+（y-2）²=25截得的弦长的最大值为（　　）

• A． 10
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 4$\sqrt{5}$
• D． 3$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，求出2x+y的最小值，结合2x+y+k≥0恒成立求得k的范围，再由直线与圆的关系可得当k=6时，直线2x+y+k=0被圆（x-1）²+（y-2）²=25截得的弦长最大，从而求得最大值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-2y-2≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{x-2y-2=0}\end{array}\right.$，解得A（-2，-2），
令z=2x+y，化为y=-2x+z，由图可知，当直线y=-2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为-6．
由2x+y+k≥0恒成立，得-k≤2x+y恒成立，即-k≤-6，则k≥6．
圆（x-1）²+（y-2）²=25的圆心（1，2）到直线2x+y+k=0的距离d=$\frac{|4+k|}{\sqrt{5}}$，当k≥6时，d$≥2\sqrt{5}$．
∴当d=$2\sqrt{5}$时，直线2x+y+k=0被圆（x-1）²+（y-2）²=25截得的弦长最大，为2$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}=2\sqrt{5}$．
故选：B．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．