Question

16．设F₁，F₂分别是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点，E的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点（0，1）是E上一点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点F₁的直线交椭圆E于A，B两点，且$\overrightarrow{B{F}_{1}}$=2$\overrightarrow{{F}_{1}A}$，求直线BF₂的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意的离心率公式，求得a=$\sqrt{2}$b，由椭圆过点（0，1），求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，及向量数量积的坐标运算，求得B点坐标，求得直线BF₂的斜率，即可求得直线BF₂的方程．

解答 解：（1）由椭圆的斜率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$b，
由点（0，1）则b=1，a=$\sqrt{2}$，
椭圆E的方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）设直线AB的直线方程y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，①，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，②
$\overrightarrow{B{F}_{1}}$=2$\overrightarrow{{F}_{1}A}$，则（-1-x₂，-y₂）=2（x₁+1，y₁），则2x₁+x₂=-3，③
由①②可知：x₁=$\frac{-2{k}^{2}-3}{1+2{k}^{2}}$，x₂=$\frac{3-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
代入②整理得：2k²=7，解得：k=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
则B（-$\frac{1}{2}$，±$\frac{\sqrt{14}}{4}$），
则直线BF₂的斜率k=±$\frac{\sqrt{14}}{6}$，
∴直线BF₂的方程：y=±$\frac{\sqrt{14}}{6}$（x-1）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．