Question

6．已知函数y=2sin（x+$\frac{π}{2}$）cos（x-$\frac{π}{2}$）与直线y=$\frac{1}{2}$相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为M₁，M₂，M₃，…，则|$\overrightarrow{{M}_{1}{M}_{12}}$|等于（　　）

• A． $\frac{16π}{3}$
• B． 6π
• C． $\frac{17π}{3}$
• D． 12π

Answer 1

分析 利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知，y=sin2x，依题意可求得M₁，M₁₂的坐标，从而可求|$\overrightarrow{{M}_{1}{M}_{12}}$|的值．

解答 解：∵y=2sin（x+$\frac{π}{2}$）cos（x-$\frac{π}{2}$）=2cosxsinx=sin2x，
∴由题意得：sin2x=$\frac{1}{2}$，
∴2x=2kπ+$\frac{π}{6}$或2x=2kπ+$\frac{5π}{6}$，
∴x=kπ+$\frac{π}{12}$或x=kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∵正弦曲线y=sin2x与直线y=$\frac{1}{2}$在y轴右侧的交点自左向右依次记为M₁，M₂，M₃，…，
∴得M₁（$\frac{π}{12}$，$\frac{1}{2}$），M₁₂（5π+$\frac{5π}{12}$，$\frac{1}{2}$），∴|$\overrightarrow{{M}_{1}{M}_{12}}$|=$\frac{16π}{3}$，
故选A．

点评 本题考查函数的零点与方程根的关系，着重考查正弦函数的性质，求得M₁，M₁₂的坐标是关键，属于中档题．