Question

15．已知在平面四边形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$，BC=2，AC⊥CD，AC=CD，则四边形ABCD面积的最大值为3+$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 设∠ABC=θ，θ∈（0，π），由余弦定理求出AC²，再求四边形ABCD的面积表达式，利用三角恒等变换求出它的最大值．

解答 解：如图所示，
设∠ABC=θ，θ∈（0，π），
则在△ABC中，由余弦定理得，
AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosθ=6-4$\sqrt{2}$cosθ；
∴四边形ABCD的面积为
S=S_△ABC+S_△ACD
=$\frac{1}{2}$（AB•BC•sinθ+AC•CD），
化简得
S=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}$sinθ+6-4$\sqrt{2}$cosθ）
=3+$\sqrt{2}$（sinθ-2cosθ）
=3+$\sqrt{10}$sin（θ-φ），
其中tanφ=2，
当sin（θ-φ）=1时，
S取得最大值为3+$\sqrt{10}$．
故答案为：3+$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了解三角形和三角恒等变换的应用问题，是综合题．