Question

3．已知动点P到点（$\frac{1}{2}$，0）的距离比它到直线x=-$\frac{5}{2}$的距离小2．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）记P点的轨迹为E，过点S（2，0）斜率为k₁的直线交E于A，B两点，Q（1，0），延长AQ，BQ与E交于C，D两点，设CD的斜率为k₂，证明：$\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}$为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由动点P到点（$\frac{1}{2}$，0）的距离比它到直线x=-$\frac{5}{2}$的距离小2，可得动点P到点（$\frac{1}{2}$，0）的距离与它到直线x=-$\frac{1}{2}$的距离相等，由此能求出抛物线方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），则k₂=$\frac{{y}_{4}-{y}_{3}}{{x}_{4}-{x}_{3}}$=$\frac{2}{{y}_{4}+{y}_{3}}$=-$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=2k₁，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）解：∵动点P到点（$\frac{1}{2}$，0）的距离比它到直线x=-$\frac{5}{2}$的距离小2，
∴动点P到点（$\frac{1}{2}$，0）的距离与它到直线x=-$\frac{1}{2}$的距离相等，
∴动点P的轨迹是以点（$\frac{1}{2}$，0）为焦点的抛物线，
∴动点P的轨迹方程为y²=2x；
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
则直线AB的方程为y=k₁（x-2），代入抛物线方程中，得${y}^{2}-\frac{2y}{{k}_{1}}-4=0$，
∴y₁+y₂=$\frac{2}{{k}_{1}}$，y₁y₂=-4
直线AC，BD过点Q（1，0），同理可得y₁y₃=y₂y₄=-2，
∴y₃=-$\frac{2}{{y}_{1}}$，${y}_{4}=-\frac{2}{{y}_{2}}$，
∴k₂=$\frac{{y}_{4}-{y}_{3}}{{x}_{4}-{x}_{3}}$=$\frac{2}{{y}_{4}+{y}_{3}}$=-$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=2k₁，
∴$\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}$=2．

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意直线方程的合理运用．