Question

18．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的右焦点F到双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离小于$\sqrt{3}$，则双曲线E的离心率的取值范围是1＜e＜2．

Answer 1

分析 求出椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的右焦点F的坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的右焦点F为（2，0），
双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为bx+ay=0，
则焦点到渐近线的距离d=$\frac{2b}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$＜$\sqrt{3}$，
即有2b＜$\sqrt{3}$c，
∴4b²＜3c²，
∴4（c²-a²）＜3c²，
∴e＜2，
∵e＞1，
∴1＜e＜2．
故答案为1＜e＜2．

点评 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，考查离心率的求法，属于中档题．