Question

2．在数列{a_n}中，a_n＞0，a₁=$\frac{1}{2}$，如果a_n+1是1与$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}+1}{4-{{a}_{n}}^{2}}$的等比中项，那么a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+$\frac{{a}_{4}}{{4}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{100}}{10{0}^{2}}$的值是$\frac{100}{101}$．

Answer 1

分析 a_n+1是1与$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}+1}{4-{{a}_{n}}^{2}}$的等比中项，可得${a}_{n+1}^{2}$=$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}+1}{4-{{a}_{n}}^{2}}$，a_n＞0，a₁=$\frac{1}{2}$，化为：a_na_n+1+1=2a_n+1，化为$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-1，利用等差数列的通项公式可得：解得a_n．可得$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵a_n+1是1与$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}+1}{4-{{a}_{n}}^{2}}$的等比中项，
∴${a}_{n+1}^{2}$=$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}+1}{4-{{a}_{n}}^{2}}$，a_n＞0，a₁=$\frac{1}{2}$，
化为：a_na_n+1+1=2a_n+1，
化为$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-1，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}-1}\}$是等差数列，首项为-2，公差为-1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-2-（n-1）=-n-1，
解得a_n=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+$\frac{{a}_{4}}{{4}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{100}}{10{0}^{2}}$=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{100}-\frac{1}{101}）$
=1-$\frac{1}{101}$
=$\frac{100}{101}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．