Question

4．如图，在Rt△ABC内有一系列的正方形，它们的边长依次为a₁，a₂，…，a_n，…，若AB=a，BC=2a，则所有正方形的面积的和为$\frac{4}{5}{a}^{2}$．

Answer 1

分析 根据题意可知$\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$，可得${a}_{1}=\frac{2}{3}a$，依次计算${a}_{2}=\frac{2}{3}{a}_{1}$，${a}_{3}=\frac{2}{3}{a}_{2}$…，不难发现：边长依次为a₁，a₂，…，a_n，…构成是公比为$\frac{2}{3}$的等比数列，正方形的面积：依次S₁=$\frac{4}{9}{a}^{2}$，${S}_{2}=\frac{4}{9}{{a}_{1}}^{2}$…，不难发现：边长依次为a₁，a₂，…，a_n，…正方形的面积构成是公比为$\frac{4}{9}$的等比数列．利用无穷等比数列的和公式可得所有正方形的面积的和．

解答 解：根据题意可知$\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$，可得${a}_{1}=\frac{2}{3}a$，依次计算${a}_{2}=\frac{2}{3}{a}_{1}$，${a}_{3}=\frac{2}{3}{a}_{2}$…，是公比为$\frac{2}{3}$的等比数列，
正方形的面积：依次S₁=$\frac{4}{9}{a}^{2}$，${S}_{2}=\frac{4}{9}{{a}_{1}}^{2}$…，边长依次为a₁，a₂，…，a_n，正方形的面积构成是公比为$\frac{4}{9}$的等比数列．
所有正方形的面积的和${S}_{n}=\frac{{S}_{1}}{1-q}=\frac{\frac{4}{9}{a}^{2}}{1-\frac{4}{9}}=\frac{4}{5}{a}^{2}$．
故答案为：$\frac{4}{5}{a}^{2}$

点评 本题考查了无穷等比数列的和公式的运用．利用边长关系建立等式，找到公比是解题的关键．属于中档题．