Question

9．设过抛物线y²=4x的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，若以AB为直径的圆过点P（-1，2），且与x轴交于M（m，0），N（n，0）两点，则mn=（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． -3
• D． -2

Answer 1

分析 设直线MN的方程为x=ty+1，代入椭圆方程，由韦达定理及抛物线的性质，求得圆心坐标，由以AB为直径的圆过点P（-1，2）代入即可求得t的值，求得椭圆方程，当y=0时，即可求得m和n的值，即可求得mn．

解答 解：抛物线焦点坐标为F（1，0），准线方程为x=-1…．（2分）
设直线MN的方程为x=ty+1，A、B的坐标分别为（$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$，y₁），（$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
x₁+x₂=ty₁+1+ty₂+1=t（y₁+y₂）+2=4t²+2，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2t²+1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2t，
则圆心D（2t²+1，2t），
由抛物线的性质可知：丨AB丨=x₁+x₂+p=4（t²+1），
由P到圆心的距离d=$\sqrt{[2t+1-（-1）]^{2}+（2t-2）^{2}}$，
由题意可知：d=$\frac{1}{2}$丨AB丨，
解得：t=1，
则圆心为（3，2），半径为4，
∴圆的方程方程为（x-3）²+（y-2）²=4²，
则当y=0，求得与x轴的交点坐标，假设m＞n，
则m=3-2$\sqrt{3}$，n=3+2$\sqrt{3}$，
∴mn=（3-2$\sqrt{3}$）（3+2$\sqrt{3}$）=-3，
故选：C．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的简单几何性质及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．