Question

17．已知α，β∈（0，π），且$cos（2α+β）-2cos（α+β）cosα=\frac{3}{5}$，则sin2β=$-\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 由已知利用拆角方法及两角和与差的余弦求得cosβ，再由同角三角函数的基本关系式结合角的范围求得sinβ，代入二倍角公式求得sin2β．

解答 解：$cos（2α+β）-2cos（α+β）cosα=\frac{3}{5}$，
得cos[（α+β）+α]-2cos（α+β）cosα=$\frac{3}{5}$，
即cos（α+β）cosα-sin（α+β）sinα-2cos（α+β）cosα=$\frac{3}{5}$，
∴-[cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα]=$\frac{3}{5}$，则-cosβ=$\frac{3}{5}$，cosβ=-$\frac{3}{5}$．
又β∈（0，π），∴sinβ=$\frac{4}{5}$，
则sin2β=2sinβcosβ=2×$\frac{4}{5}×（-\frac{3}{5}）$=$-\frac{24}{25}$．
故答案为：$-\frac{24}{25}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查两角和与差的余弦及倍角公式的应用，是基础的计算题．