Question

5．在高中学习过程中，同学们经常这样说：“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题．”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如表：

成绩/编号	1	2	3	4	5
物理（x）	90	85	74	68	63
数学（y）	130	125	110	95	90

（参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$）
参考数据：90²+85²+74²+68²+63²=29394，90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595．
（1）求数学成绩y关于物理成绩x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$（$\widehat{b}$精确到0.1），若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；
（2）要从抽取的这五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以X表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据表中数据计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数$\widehat{b}$、$\widehat{a}$，写出回归方程，利用回归方程计算x=80时$\widehat{y}$的值即可；
（2）抽取的五位学生中成绩高于100分的有3人，X的可以取1，2，3，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（1）根据表中数据计算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（90+85+74+68+63）=76，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（130+125+110+95+90）=110，
$\sum_{i=5}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=90²+85²+74²+68²+63²=29394，
$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595，
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{42595-5×76×110}{29394-5{×76}^{2}}$=$\frac{795}{514}$≈1.5，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=110-1.5×76=-4；
∴x、y的线性回归方程是$\widehat{y}$=1.5x-4，
当x=80时，$\widehat{y}$=1.5×80-4=116，
即某位同学的物理成绩为80分，预测他的数学成绩是116；
（2）抽取的五位学生中成绩高于100分的有3人，
X表示选中的同学中高于100分的人数，可以取1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{•C}_{2}^{0}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$；
故X的分布列为：

X	1	2	3
p	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

X的数学期望值为E（X）=1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{10}$=1.8．

点评 本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列和期望问题，是基础题．