Question

7．平面上两点F₁，F₂满足|F₁F₂|=4，设d为实数，令Γ表示平面上满足||PF₁|+|PF₂||=d的所有P点组成的图形，又令C为平面上以F₁为圆心、1为半径的圆．则下列结论中，其中正确的有②③⑤（写出所有正确结论的编号）．
①当d=4时，Γ为直线；
②当d=5时，Γ为椭圆；
③当d=6时，Γ与圆C交于三点；
④当d＞6时，Γ与圆C交于两点；
⑤当d＜4时，Γ不存在．

Answer 1

分析 ①，动点P满足：|PF₁|+|PF₂|=4，则动点P的轨迹是以F₁，F₂为端点的线段；
②，|由PF₁|+|PF₂|=5＞|F₁F₂|=4，得动点P的轨迹是椭圆．
③，由|PF₁|+|PF₂|=6＞|F₁F₂|=4，得动点P的轨迹是椭圆，焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0_）．Γ与圆C交于三点；
④，当d＞6时，Γ与圆C可能没交点，
⑤，d＜4时，即|PF₁|+|PF₂|＜|F₁F₂|，Γ不存在．

解答 解：对于①，动点P满足：|PF₁|+|PF₂|=4，则动点P的轨迹是以F₁，F₂为端点的线段，故错；
对于②，∵|F₁F₂|=4，又平面上一动点P满足|PF₁|+|PF₂|=5，∴|PF₁|+|PF₂|=5＞|F₁F₂|=4，
∴动点P的轨迹是椭圆，故正确．
对于③，∴|PF₁|+|PF₂|=6＞|F₁F₂|=4，∴动点P的轨迹是椭圆，焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），
Γ与圆C交于三点，故正确；
对于④，当d＞6时，Γ与圆C可能没交点，故错；
对于⑤，d＜4时，即|PF₁|+|PF₂|＜4，∴|PF₁|+|PF₂|＜|F₁F₂|，Γ不存在，正确；
故答案为：②③⑤

点评 本题考查了椭圆的定义及性质，属于中档题．