Question

16．如图，三棱柱ABC-DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE=$\frac{π}{3}$，BC=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，点F在平面ABED内的正投影为G，且G在AE上，FG=$\sqrt{3}$，点M在线段CF上，且CM=$\frac{1}{4}$CF．
（1）证明：直线GM∥平面DEF；
（2）求三棱锥M-DEF的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知可得AE=2，求解直角三角形可得EG=$\frac{3}{2}$，则AG：HG=1：3，过G作SH∥AD，交AB于S，交DE于H，则SG：GH=1：3，再由已知可得CM：MF=1：3，得到MG∥FH，由线面平行的判定可得直线GM∥平面DEF；
（2）设过MG且平行于平面DEF的平面交三棱柱于MNK，得三棱柱DEF-MNK，可得${V}_{M-DEF}=\frac{1}{3}{V}_{DEF-KMN}$=V_M-NEK，由等积法求得三棱锥M-DEF的体积．

解答 （1）证明：如图，∵面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE=$\frac{π}{3}$，
∴△ABE为正三角形，且AE=2，
∵FG⊥GE，FG=$\sqrt{3}$，EF=BC=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
∴EG=$\frac{3}{2}$，则AG：HG=1：3，过G作SH∥AD，
交AB于S，交DE于H，
则SG：GH=1：3，
连接CS、FH，∵CM=$\frac{1}{4}$CF，∴CM：MF=1：3，
∴MG∥FH，又FH?平面DEF，MG?平面DEF，
∴直线GM∥平面DEF；
（2）解：设过MG且平行于平面DEF的平面交三棱柱于MNK，
得三棱柱DEF-MNK，可得${V}_{M-DEF}=\frac{1}{3}{V}_{DEF-KMN}$=V_M-NEK，
∵NK=2，NE=$\frac{3}{4}BE=\frac{3}{2}$，∴${S}_{△NEK}=\frac{1}{2}×2×\frac{3}{2}×sin\frac{π}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
则${V}_{M-NEK}=\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{4}×\sqrt{3}=\frac{3}{4}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．