Question

5．已知在三棱锥P-ABC中，V_P-ABC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，∠APC=$\frac{π}{4}$，∠BPC=$\frac{π}{3}$，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P-ABC外接球的体积为$\frac{32π}{3}$．

Answer 1

分析 利用等体积转换，求出PC，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥P-ABC外接球的体积．

解答 解：由题意，设PC=2x，∵PA⊥AC，∠APC=$\frac{π}{4}$，
∴△APC为等腰直角三角形，∴PC边上的高为x，
∵平面PAC⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距离为x，
∵∠BPC=$\frac{π}{3}$，PA⊥AC，PB⊥BC，
∴PB=x，BC=$\sqrt{3}$x，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$x$•\sqrt{3}x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²，
∴V_P-ABC=V_A-PBC=$\frac{1}{3}$$•\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}•x$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，解得x=2，
∵PA⊥AC，PB⊥BC，
∴PC的中点为球心，球的半径为2，
∴三棱锥P-ABC外接球的体积为$\frac{4}{3}π×{2}^{3}$=$\frac{32π}{3}$．
故答案为：$\frac{32π}{3}$．

点评 本题考查三棱锥P-ABC外接球的体积，考查学生的计算能力，正确确定球心与球的半径是关键．