Question

13．已知函数$f（x）=cosωx•sin（{ωx-\frac{π}{3}}）+\sqrt{3}{cos^2}ωx-\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{ω＞0，x∈R}）$，且函数y=f（x）图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为$\frac{π}{4}$．
（Ⅰ）求ω的值及f（x）的对称柚方程；
（Ⅱ）在△ABC，中，角A，B，C的对边分別为a，b，c．若$f（A）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}，sinC=\frac{1}{3}，a=\sqrt{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，根据对称中心到最近的对称轴的距离为$\frac{π}{4}$，即$\frac{1}{4}T=\frac{π}{4}$，可得T，即求ω及f（x）的对称柚方程．
（Ⅱ）由$f（A）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}，sinC=\frac{1}{3}，a=\sqrt{3}$，利用正弦定理得求b的值即可．

解答 解：函数$f（x）=cosωx•sin（{ωx-\frac{π}{3}}）+\sqrt{3}{cos^2}ωx-\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{ω＞0，x∈R}）$
化简可得：$f（x）=cosωx（{\frac{1}{2}sinωx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosωx}）+\sqrt{3}{cos^2}ωx-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$\frac{1}{2}sinωxcosωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}{cos^2}ωx-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$\frac{1}{4}sin2ωx+\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{1+cos2ωx}）-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$\frac{1}{4}sin2ωx+\frac{{\sqrt{3}}}{4}cos2ωx$
$\begin{array}{l}\\=\frac{1}{2}sin（{2ωx+\frac{π}{3}}）\end{array}$；
（Ⅰ）由函数y=f（x）图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为$\frac{π}{4}$，
得$\frac{1}{4}T=\frac{1}{4}，\frac{2π}{2ω}=π$，解得ω=1．
当ω=1时，$f（x）=\frac{1}{2}sin（{2x+\frac{π}{3}}）$，
由$2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ（{k∈Z}）$，求得$x=\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}（{k∈Z}）$．
即f（x）的对称轴方程为$x=\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}（{k∈Z}）$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（A）=\frac{1}{2}sin（{2A+\frac{π}{3}}）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，即$sin（{2A+\frac{π}{3}}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴$2A+\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{3}或2A+\frac{π}{3}=2kπ+\frac{2π}{3}$，
解得：A=kπ或$kπ+\frac{π}{6}$（k∈Z）
又∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{6}$．
由sinC=$\frac{1}{3}$$＜\frac{1}{2}$，C∈（0，π），
∴C$＜\frac{π}{6}$，
故得$cosC=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$，
∵a=$\sqrt{3}$
由正弦定理得：b=$\frac{asinB}{sinA}=\frac{3+2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时也考查了两角和与差以及正弦定理，属于中档题．