Question

15．某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．

（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据频率分布直方图求出男、女生优秀人数即可；
（Ⅱ）求出样本中的男生和女生的人数，求出所有的基本事件以及满足条件的基本事件的个数，从而求出满足条件的概率即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得，男生优秀人数为100×（0.01+0.02）×10=30人，
女生优秀人数为100×（0.015+0.03）×10=45人．
（Ⅱ）因为样本容量与总体中的个体数的比是$\frac{5}{30+45}=\frac{1}{15}$，
所以样本中包含男生人数为$30×\frac{1}{15}=2$人，女生人数为$45×\frac{1}{15}=3$人，
设两名男生为A₁，A₂，三名女生为B₁，B₂，B₃，
则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：
{A₁，A₂}，{A₁，B₁}，{A₁，B₂}，{A₁，B₃}，{A₂，B₁}，
{A₂，B₂}，{A₂，B₃}，{B₁，B₂}，{B₁，B₃}，{B₂，B₃}共10个，
每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件C：“选取的2人中至少有一名男生”，
则事件C包含的基本事件有：
{A₁，A₂}，{A₁，B₁}，{A₁，B₂}，{A₁，B₃}，
{A₂，B₁}，{A₂，B₂}，{A₂，B₃}共7个，
所以$P（C）=\frac{7}{10}$，即选取的2人中至少有一名男生的概率为$\frac{7}{10}$．

点评 本题考查了频率分布问题，考查条件概率问题，是一道中档题．