Question

20．如图，在边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁中点，
（1）证明：BD₁∥平面AEC；
（2）求三棱锥E-ADC的体积．

Answer 1

分析 （1）设AC，BD交于点O，连结OE，则OE∥BD₁，从而得到BD₁∥平面AEC．
（2）三棱锥E-ADC的体积V_E-ADC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ADC}×DE$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）设AC，BD交于点O，连结OE，
∵在边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁中点，
∴O是BD中点，∴OE∥BD₁，
∵OE?平面BDD₁，BD₁?平面AEC，
∴BD₁∥平面AEC．
解：（2）三棱锥E-ADC的体积：
V_E-ADC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ADC}×DE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．