Question

10．设a＞0，b＞0，若log₄（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=log₂$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 4
• C． 1
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 a＞0，b＞0，log₄（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=log₂$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，可得$\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$=$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，化为：a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0，log₄（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=log₂$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，
∴$\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$=$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{ab}$，化为：a+b=1．
则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$≥2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=4，当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时取等号．
故选：B．

点评 本题考查了对数运算性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．