Question

已知二次函数f（x）=ax²+2ax-3
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若不等式f（x）＜0的解集为全体实数R，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=1时，不等式f（x）≥0，即（x-1）（x+3）≥0，由此求得不等式的解集．
（2）当a=0时，不等式即-3＜0，满足条件；当a＞0时，由二次函数的性质可得不满足条件；当a＜0时，再根据判别式△=4a²+12a＜0，求得a的范围，综合可得结论

解答： 解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥0，即 x²+2x-3≥0，即（x-1）（x+3）≥0，
解得 x≤-3，或x≥1，故不等式的解集为{x|x≤-3，或x≥1 }．
（2）当a=0时，不等式即-3＜0，满足不等式f（x）＜0的解集为全体实数R．
当a＞0时，由二次函数的性质可得不满足不等式f（x）＜0的解集为全体实数R．
当a＜0时，再根据判别式△=4a²+12a＜0，求得-3＜a＜0．
综上可得，实数a的取值范围是 （-3，0]．

点评：本题主要考查二次函数的性质、一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．