Question

已知函数f（x）=alnx-

1-a

x

（a为常数）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线x+y-3=0垂直，求a的值；
（2）讨论函数g（x）=f（x）-x的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出f（x）的导数，由切线方程可得f′(2)=

a

2

+

1-a

22

=1，解方程即可得到a的值；
（2）求出g（x）的导数，并分解因式，由g′（x）=0得x=1或x=a-1，对a讨论，当a＞2时，当a=2时，当1＜a＜2时，当a≤1时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）f′(x)=

a

x

+

1-a

x2

，
由曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线x+y-3=0垂直，
可得f′(2)=

a

2

+

1-a

22

=1，
解得a=3；
（2）g（x）=f（x）-x=alnx-

1-a

x

-x，
g′（x）=

a

x

-1+

1-a

x2

=

-x2+ax+1-a

x2

=

(x-1)(-x+a-1)

x2

，
由g′（x）=0得x=1或x=a-1，
若a-1＞1即a＞2时，由g′（x）＞0得1＜x＜a-1，
由g′（x）＜0得0＜x＜1或x＞a-1，
则a＞2时，g（x）的增区间为（1，a-1），减区间为（0，1），（a-1，+∞）；
若a-1=1即a=2时，g′（x）＜0，即有g（x）的减区间为（0，+∞）；
若0＜a-1＜1即1＜a＜2时，可得g（x）的减区间为（0，a-1），（1，+∞），增区间为（a-1，1）；
若a-1≤0，即a≤1时，g（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．
综上可得，当a＞2时，g（x）的增区间为（1，a-1），减区间为（0，1），（a-1，+∞）；
当a=2时，g（x）的减区间为（0，+∞）；
当1＜a＜2时，g（x）的增区间为（0，a-1），（1，+∞），减区间为（a-1，1）；
当a≤1时，g（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，掌握导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率和分类讨论的思想方法是解题的关键．