Question

已知函数f（x）=mlnx+

1

2

x²-（m+1）x+ln2e²（其中e=2.71828…是自然对数的底数）
（Ⅰ）当m=-1时，求函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出m=-1的f（x）的解析式，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，并分解因式，对m讨论，①当m＞1时，②当m=1时，③当0＜m＜1时，④当m≤0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间．

解答： 解：（Ⅰ）当m=-1时f(x)=-lnx+

1

2

x2+ln2e2，f′(x)=-

1

x

+x，
即有f（2）=4，f′(2)=

3

2

，
则切线方程为：y-4=

3

2

(x-2)，
即 3x-2y+2=0；
（Ⅱ）由已知可得f′(x)=

m

x

+x-(m+1)，（x＞0）
即f′(x)=

x2-(m+1)x+m

x

=

(x-1)(x-m)

x

，
①当m＞1时，当x＞m或0＜x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜m时，f′（x）＜0，
即函数f（x）的递增区间为（0，1），（ m，+∞），递减区间为（1，m）．
②当m=1时，f′（x）≥0恒成立，
即函数f（x）的递增区间为（ 0，+∞）．
③当0＜m＜1时，当x＞1或0＜x＜m时，f′（x）＞0，当m＜x＜1时，f′（x）＜0，
即函数f（x）的递增区间为（0，m），（1，+∞），递减区间为（m，1）．
④当m≤0时，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
即有函数f（x）的递增区间为（1，+∞），递减区间为（0，1）．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和判断单调性，运用分类讨论的思想方法和二次不等式的解法是解题的关键．