Question

已知圆O：x²+y²=4，点A（

3

，0），以线段AB为直径的圆O₁内切于圆O，记点B的轨迹为Γ．
（1）求曲线Γ的方程；
（2）当OB与圆O₁相切时，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设切点为P，连OO₁，O₁P，利用两圆相内切的性质可得：|OO₁|+|O₁P|=|OP|=2，取A关于y轴的对称点A′，连A′B，利用三角形的中位线定理可得：|A′B|+|AB|=2（|OO₁|+|O₁P|）=4．再利用椭圆的定义即可得出．
（II）OB与圆O₁相切，∴

OB

⊥

AB

．设B（x₀，y₀），可得x0(x0-

3

)+

y

2 0

=0，又

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，解得B，再利用斜率计算公式、点斜式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）设切点为P，连OO₁，O₁P，
则|OO₁|+|O₁P|=|OP|=2，
取A关于y轴的对称点A′，连A′B，
故|A′B|+|AB|=2（|OO₁|+|O₁P|）=4．
∴点B的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为4的椭圆．
其中，a=2，c=

3

，b=1，
则曲线Γ的方程为

x2

4

+y²=1．
（Ⅱ）∵OB与圆O₁相切，∴

OB

⊥

AB

．设B（x₀，y₀），
则x0(x0-

3

)+

y

2 0

=0，又

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，解得x0=

2

3

，y0=±

2

3

．
∴kOB=±

2

2

，k_AB=-

2

或

2

，则直线BA的方程为：y=±

2

(x-

3

)．
即x+y-

6

=0或

2

x-y-

6

=0．

点评：本题考查了两圆相内切的性质、三角形中位线定理、椭圆的定义及其标准方程、垂直与向量的数量积关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．